中国行政区划图：中国有34个省级行政区：23个省、5个自治区、4个直辖市、2个特别行政区。
图：美国行政区划：美国是由50个州、华盛顿哥伦比亚特区和关岛等众多海外领土组成的联邦共和立宪制国家。
加拿大行政区划图：加拿大全国划分为13个一级行政区，即10个省和3个地区
俄罗斯行政区划：8个联邦管区
全世界至少有220多个国家和地区，大家有没有想过，如果在地图上不同国家用不同颜色标注起来，那么最少可以用多少种颜色呢？其中是不是有什么规律呢？
早在1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯在一家科研单位负责地图着色的工作。在过程中弗南西斯发现了一种有趣的现象：“似乎每一幅地图都可以用四种颜色进行着色，使得有共同边界的国家都可以被画上不同的颜色。”如下图：
地图上至少可以用几种颜色？竟然成了世界难题
这个现象能不能从数学上加以证明呢？弗南西斯和他在大学读书的弟弟决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆成了山，可是研究工作没有进展。于是，弗南西斯的弟弟就这一问题请教自己的老师，著名数学家摩尔根。
摩尔根找不到解决这一问题的途径，于是又写信，向自己的好友，著名数学家密尔顿请教，显然密尔顿也未能找到解决这一问题的途径。
一开始，四色问题并为引起人们足够的重视，因很多数学家们低估了它的难度。随着时间推移，更多数学家参与四色猜想中，人们慢慢发现这个看似简单问题并不那么容易证明。
1872年，著名数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想便成了世界数学界关注的问题。
一百多年来，四色猜想困扰着数学家们，没有人能证明它，也没有人能推翻它。
无数的数学家投身于四色猜想的证明，这期间虽然有许多人声称自己证明了四色猜想，但最后都被证明是错误的。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被人们否定了。此后，越来越多的数学家虽然对这个问题用尽方法，但都一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
因此，四色定理因此也成为世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。四色定理又称四色猜想、四色问题，确切说是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
四色定理图形1：
四色定理用数学语言可以这么去理解：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。（值得注意：这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的，如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。）
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色，随后又推进到了50国。
这种人为推进方法显然十分缓慢。电子计算机问世以后，演算速度迅速提高，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了整个世界。
因此，1976年9月《美国数学会通报》 宣布四色定理被证明。它不仅解决了一个历时一百多年来的难题，一个多世纪以来，这期间数学家和数学工作者为证明这条定理用尽方法，间接促进了拓扑学与图论的生长、发展。在四色猜想的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，成为数学史上一系列新思维的起点，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，四色定理在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
不过，因为四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家们所接受接受，因为它不是由人工直接验证。四色定理的计算机证明程序是纯粹的基于四色具体问题的问题求解步骤，而非人类通用的逻辑思维或逻辑推理，不能应用于其它哪怕是极为简单的数学定理的证明。
虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色。但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地即两个不连通的区域属于同一个国家的情况，例如美国的阿拉斯加州，制作地图时仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下四个颜色将会是不够用的。
四色定理用于解析晶体磁性能
四色定理一直被认为对于现实中的应用相当有限。但现在，它有了新用途。据物理学家组织网2014年6月10日报道称，一队国际研究人员发现，可用这一数学理论来了解晶体结构及复杂材料的磁性能。
这组成员包括来自美国、韩国、日本的数学家、物理学家与化学家，他们第一次证明，畴结构的组态可以从数学领域的理论来理解。
研究人员分析了新型铁磁体FexTaS2，其属于一类被称为层状过渡金属二硫属化物（TMDs）的材料，相比于石墨烯片，它们是化学通用的。这种材料中，层状过渡金属二硫化钽的薄层夹有铁离子，由此在上部分产生新的晶体结构，改变了材料的物理性能。
实验中，研究人员将铁离子以次序和形式都不同的方式插入到上部分结构中，利用透射电子显微镜（TEM）可以观察到，不同的上部分结构产生了非常不同的晶畴结构模式。
晶畴是晶体结构中为界面所分隔的各个局部范畴，如果将这些不同类型的畴看作是地图上不同的国家，它们能根据四色定理来着色，那么从数学上讲，它就是可被“四色”的。
研究人员举例说明了其可行性，而其中一个复杂的特例，甚至还需应用到四色定理衍生出的“三种颜色、两个步骤”的特殊版本。譬如说，在红、蓝、绿三个颜色中，着色后，深红色区永不会毗连浅红色区，也不会毗连蓝、绿任何一个深色区（如图d）。
“大多数的技术材料，如钢或磁体表现出的复杂畴结构，往往决定了其宏观物理性质。”美国罗格斯大学与韩国浦项大学教授昌桑旭（音）表示，“我们的论文第一次表明，畴结构的组态，可以从数学领域的这项特别理论来理解。”此研究相关论文近期发表在美国化学学会期刊上。
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