美国总统大选的数学问题：胜选不是超过了半数选票

“总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选？”这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。50%加1票？我就知道有人会这样说。不过答案错误，再猜。

美国总统选举是一种间接选举。选民先投票选出选举人，再由选举人选出总统。美国宪法Article II规定谁获得多数的选举人票谁就获胜，并没有提到全国普选得票的数量。那么有没有可能一个候选人赢得多于270张的选举人票却在全国得票不到半数呢？当然，可能性的确是存在的。这样的事情在美国历史上发生过三次。

1876年，第十九届总统Rutherford Hayes赢得选举但他的普选票比对手少26万张。几年后1888年，第二十三届总统 Benjamin Harrison全国得票比对手少近10万张。最近的一次是2000年，小布什（George W Bush）同戈尔（Al Gore）争夺总统大位。把全世界看得目瞪口呆的是高尔的全国得票比布什高出50万张，却只得到266张选举人票，以4票之差饮恨。布什险胜佛罗里达功不可没。他在这个摇摆州只赢了大约300票，可由于种种原因被选举读卡机拒绝的废票竟有17万张之多。两人为佛州重数选票和如何处理这些废票打官司一直打到最高法院。布什获胜，历史就此而改写。“挂着的纸片” （hanging chad）也变成了美国政治词语中的一个。

2000年官员在研究一张佛罗里达的选票

现在我们把这个例子推向极端。假设罗姆尼运气极佳而且心想事成，他怎样才能用最少的全国普选票来赢得大选？我们知道他不需要50%，但到底这个数字是45%或35%？

要让这道题有解我们还要做些简化工作：1） 假设所以州都是“赢者全拿”（实际上缅因州和内布拉斯加州是例外）；2） 假设所有的选区（congressional district） 投票的人都是一样多 （实际上还是有差别的）。

对于到现在还没有头绪的读者这里给出提示。产生这种选举人票和全国普选票不一至现象主要有两种原因。

提示1：候选人赢得了很多小州

每个州的选举人的数目相当于这个州的众议员数目加上参议员数目。比如德州（Texas）有36名众议员和2名参议员，共38张选举人票。美国众议院共435人。每个州的众议员的数目取决于州的人口。每隔10年，美国就要进行一次人口普查，其目的之一就是确定各个州的众议员的数量。然后各州还要进行重新划区（redistricting）以确保每个选区的人口基本相同。平均下来，每个选区的人口大约是60万。

而每个州的参议员的数目却于人口无关。不管大小每个州都是两人，50个州共100人。参议员的选区是整个州。

到现在你应该可以看出了。要想以最少的选票取得大选胜利策略之一是赢得许多小州。因为州越小，参议员两个名额的效果就越显著。

提示2：候选人在获胜的州小胜，而在他失败的州却大败

美国总统大选在州一级是赢者全拿 （Winner-takes-all）。如果罗姆尼赢得了52%的德州选票，他将获得德州全部的38张选举人票。要想以小搏大另一策略就是在他赢的州小胜而在他输的州大败。

2012年美国总统大选候选人票的分布

2016年美国总统大选候选人票的分布

把这两个策略合在一起，你就应该能解出这道题。让我们假设奥巴马运气极差。他赢得11个最大的州，包括: 加州（55），佛罗里达（29），伊利诺斯（20），密西根（16），新泽西（14），纽约（29），北卡（15），俄亥俄（18），宾夕法尼亚（20），德州（38），佛及尼亚（13）。这些州给了他267张选举人票，刚刚好低于270的门槛。奥巴马不但赢了这些州，而且是获得了100%的选票，但这没有帮助，还是只有267张选举人票。

相应的罗姆尼赢得了剩下的39个州加华盛顿DC，共获得选举人票271张，因而获得的大选的胜利。罗姆尼而且赢得很巧妙，每个州都是50%+1票。

罗姆尼胜出的这些州里有多少选区呢？271人减40州参议员的数目 271 - 40 * 2 = 191个。因为每个州他只赢了一半多一点的选票，所以他只用了191 / 2 = 95.5个选区的选票就取得了大选胜利。95.5 除以全国438个选区：95.5 / 438 = 21.8%。因为假设所以选区投票人数相同，就可以推出：

答案：总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统。

相信不少人对这个数字会很惊讶。只获得全国选票的22%就可以赢得大选？这还了得！如果设计这一制度的美国国父们（founding fathers）知道可能会有这样的结果不知会如果作想。当然这样的事情只有在理论上的可能性，在实际生活里是不大会发生。每个国家的制度都有它形成的历史渊源。当初13个殖民地坐下来讨论成立联邦的时候，各州都在为自己争取利益。美国独特的选举制度也是一个妥协的结果。历史上也有过好几次想通过修改宪法把总统选举改成直选，但这些努力都未能成功。

本文不是为了批评美国的选举制度。作为新移民对美国选举政治有个全面的认识，对它的一些独特属性有所了解是很有必要的。民主也是一个学习的过程，作为附加的好处：对算术也有帮助。

1860年到2020年的历次总统大选，普选票得票率的情况

1860年大选：林肯39.8%（ 共和党），道格拉斯29.5%（ 北方民主党），布雷肯里奇18.1%（ 南方民主党），贝尔12.6%（ 宪法联盟）。

1864年大选：林肯55.0%（ 共和党），麦克莱伦45.0%（ 北方民主党）。

1868年大选：格兰特52.7%（ 共和党），西摩尔47.3%（ 民主党）。

1872年大选：格兰特55.6%（ 共和党），格里利43.8%（ 民主党）

1876年大选：海斯47.9%（ 共和党），蒂尔登50.9%（ 民主党）。

1880年大选：加菲尔德48.3%（ 共和党），汉考克48.2%（ 民主党）。

1884年大选：克利夫兰48.9%（ 民主党），詹姆斯布莱恩48.3%（ 共和党）。

1888年大选：哈里森47.8%（ 共和党），克利夫兰48.6%（ 民主党）。

1892年大选：克利夫兰46.0%（ 民主党），哈里森43.0%（ 共和党），韦佛8.5%（ 人民党）。

1896年大选：麦金莱51.0%（ 共和党），詹宁斯·布莱恩46.7%（ 民主党）。

1900年大选：麦金莱51.6%（ 共和党），詹宁斯·布莱恩45.5%（ 民主党）。
 

1904年大选：大罗斯福56.4%（ 共和党），帕克37.6%（ 民主党）。
 

1908年大选：塔夫脱51.6%（ 共和党），詹宁斯·布莱恩43.0%（ 民主党）。
 

1912年大选：威尔逊41.8%（ 民主党），大罗斯福27.4%（ 进步党），塔夫脱23.0%（ 共和党），德布斯6.0%（ 社会党）。
 

1916年大选：威尔逊49.2%（ 民主党），休斯46.1%（ 共和党），本森3.2%（社会党）。
 

1920年大选：哈定60.3%（ 共和党），考克斯34.1%（ 民主党），德布斯3.0%（ 社会党）。
 

1924年大选：柯立芝54.0%（ 共和党），戴维斯28.8%（ 民主党），拉福莱特16.6%（ 进步党）。
 

1928年大选：胡佛58.2%（ 共和党），史密斯40.8%（ 民主党）。
 

1932年大选：小罗斯福57.4%（ 民主党），胡佛39.7%（ 共和党）。

1936年大选：小罗斯福60.8%（ 民主党），兰登36.5%（ 共和党）。

1940年大选：小罗斯福54.7%（ 民主党），威尔基44.8%（ 共和党）。

1944年大选：小罗斯福53.4%（ 民主党），杜威45.9%（ 共和党）。

1948年大选：杜鲁门51.1%（ 民主党），杜威46.4%（ 共和党）。

1952年大选：艾森豪威尔55.2%（ 共和党），史蒂文森44.3%（ 民主党）。

1956年大选：艾森豪威尔57.4%（ 共和党），史蒂文森42.0%（ 民主党）。

1960年大选：肯尼迪49.7%（ 民主党），尼克松49.6%（ 共和党）。

1964年大选：约翰逊61.3%（ 民主党），戈德华特38.6%（ 共和党）。

1968年大选：尼克松43.4%（ 共和党），汉弗莱42.7%（ 民主党），华莱士13.5%（南方民主党）。

1972年大选：尼克松60.7%（ 共和党），麦戈文37.5%（ 民主党）。

1976年大选：卡特50.1%（ 民主党），福特48.0%（ 共和党）。

1980年大选：里根50.8%（ 共和党），卡特41.0%（ 民主党），安德森6.6%（ 洛克菲勒共和党）。

1984年大选：里根58.8%（ 共和党），蒙代尔40.6%（ 民主党）。

1988年大选：老布什53.4%（ 共和党），杜卡基斯45.7%（ 民主党）。

1992年大选：克林顿43.0%（ 民主党），老布什37.5%（ 共和党），佩罗18.9%（ 第三方）。

1996年大选：克林顿49.2%（ 民主党），多尔40.7%（ 共和党），佩罗8.4%（ 第三方）。

2000年大选：小布什47.9%（ 共和党），戈尔48.4%（ 民主党）。

2004年大选：小布什50.7%（ 共和党），克里48.3%（ 民主党）。

2008年大选：奥巴马52.9%（ 民主党），麦凯恩45.7%（ 共和党）。

2012年大选：奥巴马51.1%（ 民主党），罗姆尼47.2%（ 共和党）。

2016年大选：川普46.1%（ 共和党），希拉里48.2%（ 民主党）。

2020年大选：拜登51.4%（ 民主党），川普46.9%（ 共和党）。

美国历任总统得票一览表（1789~2020）

1、注：1到4届每人2票，得票第二名为副总统；2、第10届未过半，由议会决定；3、数据未采取四舍入法，以万为单位舍掉尾数。