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美国总统大选的数学问题:胜选不是超过了半数选票

news.xixik.com   2012-10-18 13:42:25 资讯来源:嘻嘻网   字号控制:[ ]
核心提示:“总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选?”这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。50%加1票?我就知道有人会这样说。不过答案错误,再猜。总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统。

总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选?”这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。50%加1票?我就知道有人会这样说。不过答案错误,再猜。

美国总统选举是一种间接选举。选民先投票选出选举人,再由选举人选出总统。美国宪法Article II规定谁获得多数的选举人票谁就获胜,并没有提到全国普选得票的数量。那么有没有可能一个候选人赢得多于270张的选举人票却在全国得票不到半数呢?当然,可能性的确是存在的。这样的事情在美国历史上发生过三次。

1876年,第十九届总统Rutherford Hayes赢得选举但他的普选票比对手少26万张。几年后1888年,第二十三届总统 Benjamin Harrison全国得票比对手少近10万张。最近的一次是2000年,小布什(George W Bush)同戈尔(Al Gore)争夺总统大位。把全世界看得目瞪口呆的是高尔的全国得票比布什高出50万张,却只得到266张选举人票,以4票之差饮恨。布什险胜佛罗里达功不可没。他在这个摇摆州只赢了大约300票,可由于种种原因被选举读卡机拒绝的废票竟有17万张之多。两人为佛州重数选票和如何处理这些废票打官司一直打到最高法院。布什获胜,历史就此而改写。“挂着的纸片” (hanging chad)也变成了美国政治词语中的一个。

2000年官员在研究一张佛罗里达的选票

现在我们把这个例子推向极端。假设罗姆尼运气极佳而且心想事成,他怎样才能用最少的全国普选票来赢得大选?我们知道他不需要50%,但到底这个数字是45%或35%?

要让这道题有解我们还要做些简化工作:1) 假设所以州都是“赢者全拿”(实际上缅因州和内布拉斯加州是例外);2) 假设所有的选区(congressional district) 投票的人都是一样多 (实际上还是有差别的)。

对于到现在还没有头绪的读者这里给出提示。产生这种选举人票和全国普选票不一至现象主要有两种原因。

提示1:候选人赢得了很多小州

每个州的选举人的数目相当于这个州的众议员数目加上参议员数目。比如德州(Texas)有36名众议员和2名参议员,共38张选举人票。美国众议院共435人。每个州的众议员的数目取决于州的人口。每隔10年,美国就要进行一次人口普查,其目的之一就是确定各个州的众议员的数量。然后各州还要进行重新划区(redistricting)以确保每个选区的人口基本相同。平均下来,每个选区的人口大约是60万。

而每个州的参议员的数目却于人口无关。不管大小每个州都是两人,50个州共100人。参议员的选区是整个州。

到现在你应该可以看出了。要想以最少的选票取得大选胜利策略之一是赢得许多小州。因为州越小,参议员两个名额的效果就越显著。

提示2:候选人在获胜的州小胜,而在他失败的州却大败

美国总统大选在州一级是赢者全拿 (Winner-takes-all)。如果罗姆尼赢得了52%的德州选票,他将获得德州全部的38张选举人票。要想以小搏大另一策略就是在他赢的州小胜而在他输的州大败。

2012年美国总统大选候选人票的分布

2016年美国总统大选候选人票的分布

把这两个策略合在一起,你就应该能解出这道题。让我们假设奥巴马运气极差。他赢得11个最大的州,包括: 加州(55),佛罗里达(29),伊利诺斯(20),密西根(16),新泽西(14),纽约(29),北卡(15),俄亥俄(18),宾夕法尼亚(20),德州(38),佛及尼亚(13)。这些州给了他267张选举人票,刚刚好低于270的门槛。奥巴马不但赢了这些州,而且是获得了100%的选票,但这没有帮助,还是只有267张选举人票。

相应的罗姆尼赢得了剩下的39个州加华盛顿DC,共获得选举人票271张,因而获得的大选的胜利。罗姆尼而且赢得很巧妙,每个州都是50%+1票。

罗姆尼胜出的这些州里有多少选区呢?271人减40州参议员的数目 271 - 40 * 2 = 191个。因为每个州他只赢了一半多一点的选票,所以他只用了191 / 2 = 95.5个选区的选票就取得了大选胜利。95.5 除以全国438个选区:95.5 / 438 = 21.8%。因为假设所以选区投票人数相同,就可以推出:

答案:总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统

相信不少人对这个数字会很惊讶。只获得全国选票的22%就可以赢得大选?这还了得!如果设计这一制度的美国国父们(founding fathers)知道可能会有这样的结果不知会如果作想。当然这样的事情只有在理论上的可能性,在实际生活里是不大会发生。每个国家的制度都有它形成的历史渊源。当初13个殖民地坐下来讨论成立联邦的时候,各州都在为自己争取利益。美国独特的选举制度也是一个妥协的结果。历史上也有过好几次想通过修改宪法把总统选举改成直选,但这些努力都未能成功。

本文不是为了批评美国的选举制度。作为新移民对美国选举政治有个全面的认识,对它的一些独特属性有所了解是很有必要的。民主也是一个学习的过程,作为附加的好处:对算术也有帮助。

1860年到2020年的历次总统大选,普选票得票率的情况

1860年大选:林肯39.8%( 共和党),道格拉斯29.5%( 北方民主党),布雷肯里奇18.1%( 南方民主党),贝尔12.6%( 宪法联盟)。

1864年大选:林肯55.0%( 共和党),麦克莱伦45.0%( 北方民主党)。

1868年大选:格兰特52.7%( 共和党),西摩尔47.3%( 民主党)。

1872年大选:格兰特55.6%( 共和党),格里利43.8%( 民主党)

1876年大选:海斯47.9%( 共和党),蒂尔登50.9%( 民主党)。

1880年大选:加菲尔德48.3%( 共和党),汉考克48.2%( 民主党)。

1884年大选:克利夫兰48.9%( 民主党),詹姆斯布莱恩48.3%( 共和党)。

1888年大选:哈里森47.8%( 共和党),克利夫兰48.6%( 民主党)。

1892年大选:克利夫兰46.0%( 民主党),哈里森43.0%( 共和党),韦佛8.5%( 人民党)。

1896年大选:麦金莱51.0%( 共和党),詹宁斯·布莱恩46.7%( 民主党)。

1900年大选:麦金莱51.6%( 共和党),詹宁斯·布莱恩45.5%( 民主党)。
 

1904年大选:大罗斯福56.4%( 共和党),帕克37.6%( 民主党)。
 

1908年大选:塔夫脱51.6%( 共和党),詹宁斯·布莱恩43.0%( 民主党)。
 

1912年大选:威尔逊41.8%( 民主党),大罗斯福27.4%( 进步党),塔夫脱23.0%( 共和党),德布斯6.0%( 社会党)。
 

1916年大选:威尔逊49.2%( 民主党),休斯46.1%( 共和党),本森3.2%(社会党)。
 

1920年大选:哈定60.3%( 共和党),考克斯34.1%( 民主党),德布斯3.0%( 社会党)。
 

1924年大选:柯立芝54.0%( 共和党),戴维斯28.8%( 民主党),拉福莱特16.6%( 进步党)。
 

1928年大选:胡佛58.2%( 共和党),史密斯40.8%( 民主党)。
 

1932年大选:小罗斯福57.4%( 民主党),胡佛39.7%( 共和党)。

1936年大选:小罗斯福60.8%( 民主党),兰登36.5%( 共和党)。

1940年大选:小罗斯福54.7%( 民主党),威尔基44.8%( 共和党)。

1944年大选:小罗斯福53.4%( 民主党),杜威45.9%( 共和党)。

1948年大选:杜鲁门51.1%( 民主党),杜威46.4%( 共和党)。

1952年大选:艾森豪威尔55.2%( 共和党),史蒂文森44.3%( 民主党)。

1956年大选:艾森豪威尔57.4%( 共和党),史蒂文森42.0%( 民主党)。

1960年大选:肯尼迪49.7%( 民主党),尼克松49.6%( 共和党)。

1964年大选:约翰逊61.3%( 民主党),戈德华特38.6%( 共和党)。

1968年大选:尼克松43.4%( 共和党),汉弗莱42.7%( 民主党),华莱士13.5%(南方民主党)。

1972年大选:尼克松60.7%( 共和党),麦戈文37.5%( 民主党)。

1976年大选:卡特50.1%( 民主党),福特48.0%( 共和党)。

1980年大选:里根50.8%( 共和党),卡特41.0%( 民主党),安德森6.6%( 洛克菲勒共和党)。

1984年大选:里根58.8%( 共和党),蒙代尔40.6%( 民主党)。

1988年大选:老布什53.4%( 共和党),杜卡基斯45.7%( 民主党)。

1992年大选:克林顿43.0%( 民主党),老布什37.5%( 共和党),佩罗18.9%( 第三方)。

1996年大选:克林顿49.2%( 民主党),多尔40.7%( 共和党),佩罗8.4%( 第三方)。

2000年大选:小布什47.9%( 共和党),戈尔48.4%( 民主党)。

2004年大选:小布什50.7%( 共和党),克里48.3%( 民主党)。

2008年大选:奥巴马52.9%( 民主党),麦凯恩45.7%( 共和党)。

2012年大选:奥巴马51.1%( 民主党),罗姆尼47.2%( 共和党)。

2016年大选:川普46.1%( 共和党),希拉里48.2%( 民主党)。

2020年大选:拜登51.4%( 民主党),川普46.9%( 共和党)。

美国历任总统得票一览表(1789~2020)

姓名 总选举人 得票数 党派 全民票
1 1789 乔治·华盛顿 73 69
2 1792 乔治·华盛顿 135 132 联邦党
3 1796 约翰·亚当斯 138 71 联邦党
4 1800 托马斯·杰斐逊 138 73 民主共和党
5 1804 托马斯·杰斐逊 176 162 民主共和党
6 1808 詹姆斯·麦迪逊 176 122 民主共和党
7 1812 詹姆斯·麦迪逊 218 128 民主共和党
8 1816 詹姆斯·门罗 221 183 民主共和党
9 1820 詹姆斯·门罗 235 231 民主共和党
10 1824 约翰·昆西·亚当斯 261 84(议会定) 民主共和党
11 1828 安德鲁·杰克逊 261 178 民主共和党 64万
12 1832 安德鲁·杰克逊 288 219 民主共和党 68万
13 1836 马丁.范.布伦 294 170 民主共和党 76万
14 1840 威廉·亨利·哈里森 294 234 辉格党 127万
15 1844 詹姆斯·诺克斯·波尔克 275 170 民主党 133万
16 1848 扎卡里·泰勒 290 163 辉格党 136万
17 1852 富兰克林·皮尔斯 296 254 民主党 160万
18 1856 詹姆斯·布坎南 296 174 民主党 183万
19 1860 亚伯拉罕·林肯 303 180 共和党 186万
20 1864 亚伯拉罕·林肯 314 212 共和党 221万
21 1868 尤利西斯·辛普森·格兰特 317 214 共和党 301万
22 1872 尤利西斯·辛普森·格兰特 366 286 共和党 359万
23 1876 拉瑟福德·伯查德·海斯 369 185 共和党 403万
24 1880 詹姆斯·加菲尔德 369 214 共和党 445万
25 1884 格罗弗·克利夫兰 401 219 民主党 487万
26 1888 本杰明·哈利森 401 233 共和党 543万
27 1892 格罗弗·克利夫兰 444 277 民主党 555万
28 1896 威廉·麦金莱(利) 447 271 共和党 710万
29 900 威廉·麦金莱(利) 447 292 共和党 721万
30 1904 西奥多·罗斯福 476 336 共和党 762万
31 1908 威廉·霍华德·塔夫脱 483 321 共和党 763万
32 1912 伍德罗·威尔逊 531 435 民主党 628万
33 1916 伍德罗·威尔逊 531 277 民主党 912万
34 1920 沃伦·盖玛利尔·哈定 531 404 共和党 1615万
35 1924 卡尔文·柯立芝 531 382 共和党 1571万
36 1928 赫伯特·克拉克·胡佛 531 444 共和党 2194万
37 1932 富兰克林·德拉诺·罗斯福 531 444 民主党 2281万
38 1936 富兰克林·德拉诺·罗斯福 531 523 民主党 2447万
39 1940 富兰克林·德拉诺·罗斯福 531 449 民主党 2724万
40 1944 富兰克林·德拉诺·罗斯福 531 432 民主党 2561万
41 1948 哈里·S·杜鲁门 529 304 民主党 2410万
42 1952 德怀特·戴维·艾森豪威尔 531 442 共和党 3393万
43 1956 德怀特·戴维·艾森豪威尔 531 457 共和党 3558万
44 1960 约翰·菲茨杰拉德·肯尼迪 537 300 民主党 3422万
45 1964 林登·贝恩斯·约翰逊 538 486 民主党 4312万
46 1968 理查德·米尔豪斯·尼克松 538 301 共和党 3177万
47 1972 理查德·米尔豪斯·尼克松 538 521 共和党 3929万
48 1976 詹姆斯(吉米)·厄尔·卡特 538 297 民主党 4028万
49 1980 罗纳德·里根 538 489 共和党 4389万
50 1984 罗纳德·里根 538 525 共和党 5260万
51 1988 乔治·赫伯特·沃克·布什 538 426 共和党 4794万
52 1992 比尔·克林顿 538 370 民主党 4368万
53 1996 比尔·克林顿 538 379 民主党 4562万
54 2000 乔治·沃克·布什 538 271 共和党 5045万
55 2004 乔治·沃克·布什 538 286 共和党 6067万
56 2008 巴拉克·侯赛因·奥巴马 538 365 民主党 6987万
57 2012 巴拉克·侯赛因·奥巴马 538 332 民主党 6589万
58 2016 唐纳德·特朗普 538 306 共和党 6231万
59 2016 小约瑟夫·罗宾内特·拜登 538 306 民主党 8128万

1、注:1到4届每人2票,得票第二名为副总统;2、第10届未过半,由议会决定;3、数据未采取四舍入法,以万为单位舍掉尾数。

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