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美国总统大选的数学问题:胜选不是超过了半数选票

news.xixik.com   2012-10-18 13:42:25 资讯来源:嘻嘻网   字号控制:[ ]
核心提示:“总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选?”这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。50%加1票?我就知道有人会这样说。不过答案错误,再猜。总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统。

总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选?”这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。50%加1票?我就知道有人会这样说。不过答案错误,再猜。

美国总统选举是一种间接选举。选民先投票选出选举人,再由选举人选出总统。美国宪法Article II规定谁获得多数的选举人票谁就获胜,并没有提到全国普选得票的数量。那么有没有可能一个候选人赢得多于270张的选举人票却在全国得票不到半数呢?当然,可能性的确是存在的。这样的事情在美国历史上发生过三次。

1876年,第十九届总统Rutherford Hayes赢得选举但他的普选票比对手少26万张。几年后1888年,第二十三届总统 Benjamin Harrison全国得票比对手少近10万张。最近的一次是2000年,小布什(George W Bush)同戈尔(Al Gore)争夺总统大位。把全世界看得目瞪口呆的是高尔的全国得票比布什高出50万张,却只得到266张选举人票,以4票之差饮恨。布什险胜佛罗里达功不可没。他在这个摇摆州只赢了大约300票,可由于种种原因被选举读卡机拒绝的废票竟有17万张之多。两人为佛州重数选票和如何处理这些废票打官司一直打到最高法院。布什获胜,历史就此而改写。“挂着的纸片” (hanging chad)也变成了美国政治词语中的一个。

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2000年官员在研究一张佛罗里达的选票

现在我们把这个例子推向极端。假设罗姆尼运气极佳而且心想事成,他怎样才能用最少的全国普选票来赢得大选?我们知道他不需要50%,但到底这个数字是45%或35%?

要让这道题有解我们还要做些简化工作:1) 假设所以州都是“赢者全拿”(实际上缅因州和内布拉斯加州是例外);2) 假设所有的选区(congressional district) 投票的人都是一样多 (实际上还是有差别的)。

对于到现在还没有头绪的读者这里给出提示。产生这种选举人票和全国普选票不一至现象主要有两种原因。

提示1:候选人赢得了很多小州

每个州的选举人的数目相当于这个州的众议员数目加上参议员数目。比如德州(Texas)有36名众议员和2名参议员,共38张选举人票。美国众议院共435人。每个州的众议员的数目取决于州的人口。每隔10年,美国就要进行一次人口普查,其目的之一就是确定各个州的众议员的数量。然后各州还要进行重新划区(redistricting)以确保每个选区的人口基本相同。平均下来,每个选区的人口大约是60万。

而每个州的参议员的数目却于人口无关。不管大小每个州都是两人,50个州共100人。参议员的选区是整个州。

到现在你应该可以看出了。要想以最少的选票取得大选胜利策略之一是赢得许多小州。因为州越小,参议员两个名额的效果就越显著。

提示2:候选人在获胜的州小胜,而在他失败的州却大败

美国总统大选在州一级是赢者全拿 (Winner-takes-all)。如果罗姆尼赢得了52%的德州选票,他将获得德州全部的38张选举人票。要想以小搏大另一策略就是在他赢的州小胜而在他输的州大败。

2012年美国总统大选候选人票的分布

2016年美国总统大选候选人票的分布

把这两个策略合在一起,你就应该能解出这道题。让我们假设奥巴马运气极差。他赢得11个最大的州,包括: 加州(55),佛罗里达(29),伊利诺斯(20),密西根(16),新泽西(14),纽约(29),北卡(15),俄亥俄(18),宾夕法尼亚(20),德州(38),佛及尼亚(13)。这些州给了他267张选举人票,刚刚好低于270的门槛。奥巴马不但赢了这些州,而且是获得了100%的选票,但这没有帮助,还是只有267张选举人票。

相应的罗姆尼赢得了剩下的39个州加华盛顿DC,共获得选举人票271张,因而获得的大选的胜利。罗姆尼而且赢得很巧妙,每个州都是50%+1票。

罗姆尼胜出的这些州里有多少选区呢?271人减40州参议员的数目 271 - 40 * 2 = 191个。因为每个州他只赢了一半多一点的选票,所以他只用了191 / 2 = 95.5个选区的选票就取得了大选胜利。95.5 除以全国438个选区:95.5 / 438 = 21.8%。因为假设所以选区投票人数相同,就可以推出:

答案:总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统

相信不少人对这个数字会很惊讶。只获得全国选票的22%就可以赢得大选?这还了得!如果设计这一制度的美国国父们(founding fathers)知道可能会有这样的结果不知会如果作想。当然这样的事情只有在理论上的可能性,在实际生活里是不大会发生。每个国家的制度都有它形成的历史渊源。当初13个殖民地坐下来讨论成立联邦的时候,各州都在为自己争取利益。美国独特的选举制度也是一个妥协的结果。历史上也有过好几次想通过修改宪法把总统选举改成直选,但这些努力都未能成功。

本文不是为了批评美国的选举制度。作为新移民对美国选举政治有个全面的认识,对它的一些独特属性有所了解是很有必要的。民主也是一个学习的过程,作为附加的好处:对算术也有帮助。

1860年到2020年的历次总统大选,普选票得票率的情况

1860年大选:林肯39.8%( 共和党),道格拉斯29.5%( 北方民主党),布雷肯里奇18.1%( 南方民主党),贝尔12.6%( 宪法联盟)。

1864年大选:林肯55.0%( 共和党),麦克莱伦45.0%( 北方民主党)。

1868年大选:格兰特52.7%( 共和党),西摩尔47.3%( 民主党)。

1872年大选:格兰特55.6%( 共和党),格里利43.8%( 民主党)

1876年大选:海斯47.9%( 共和党),蒂尔登50.9%( 民主党)。

1880年大选:加菲尔德48.3%( 共和党),汉考克48.2%( 民主党)。

1884年大选:克利夫兰48.9%( 民主党),詹姆斯布莱恩48.3%( 共和党)。

1888年大选:哈里森47.8%( 共和党),克利夫兰48.6%( 民主党)。

1892年大选:克利夫兰46.0%( 民主党),哈里森43.0%( 共和党),韦佛8.5%( 人民党)。

1896年大选:麦金莱51.0%( 共和党),詹宁斯·布莱恩46.7%( 民主党)。

1900年大选:麦金莱51.6%( 共和党),詹宁斯·布莱恩45.5%( 民主党)。
 

1904年大选:大罗斯福56.4%( 共和党),帕克37.6%( 民主党)。
 

1908年大选:塔夫脱51.6%( 共和党),詹宁斯·布莱恩43.0%( 民主党)。
 

1912年大选:威尔逊41.8%( 民主党),大罗斯福27.4%( 进步党),塔夫脱23.0%( 共和党),德布斯6.0%( 社会党)。
 

1916年大选:威尔逊49.2%( 民主党),休斯46.1%( 共和党),本森3.2%(社会党)。
 

1920年大选:哈定60.3%( 共和党),考克斯34.1%( 民主党),德布斯3.0%( 社会党)。
 

1924年大选:柯立芝54.0%( 共和党),戴维斯28.8%( 民主党),拉福莱特16.6%( 进步党)。
 

1928年大选:胡佛58.2%( 共和党),史密斯40.8%( 民主党)。
 

1932年大选:小罗斯福57.4%( 民主党),胡佛39.7%( 共和党)。
 

1936年大选:小罗斯福60.8%( 民主党),兰登36.5%( 共和党)。
 

1940年大选:小罗斯福54.7%( 民主党),威尔基44.8%( 共和党)。
 

1944年大选:小罗斯福53.4%( 民主党),杜威45.9%( 共和党)。
 

1948年大选:杜鲁门51.1%( 民主党),杜威46.4%( 共和党)。
 

1952年大选:艾森豪威尔55.2%( 共和党),史蒂文森44.3%( 民主党)。
 

1956年大选:艾森豪威尔57.4%( 共和党),史蒂文森42.0%( 民主党)。
 

1960年大选:肯尼迪49.7%( 民主党),尼克松49.6%( 共和党)。
 

1964年大选:约翰逊61.3%( 民主党),戈德华特38.6%( 共和党)。
 

1968年大选:尼克松43.4%( 共和党),汉弗莱42.7%( 民主党),华莱士13.5%(南方民主党)。
 

1972年大选:尼克松60.7%( 共和党),麦戈文37.5%( 民主党)。
 

1976年大选:卡特50.1%( 民主党),福特48.0%( 共和党)。

1980年大选:里根50.8%( 共和党),卡特41.0%( 民主党),安德森6.6%( 洛克菲勒共和党)。
 

1984年大选:里根58.8%( 共和党),蒙代尔40.6%( 民主党)。
 

1988年大选:老布什53.4%( 共和党),杜卡基斯45.7%( 民主党)。
 

1992年大选:克林顿43.0%( 民主党),老布什37.5%( 共和党),佩罗18.9%( 第三方)。
 

1996年大选:克林顿49.2%( 民主党),多尔40.7%( 共和党),佩罗8.4%( 第三方)。
 

2000年大选:小布什47.9%( 共和党),戈尔48.4%( 民主党)。
 

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2004年大选:小布什50.7%( 共和党),克里48.3%( 民主党)。
 

2008年大选:奥巴马52.9%( 民主党),麦凯恩45.7%( 共和党)。
 

2012年大选:奥巴马51.1%( 民主党),罗姆尼47.2%( 共和党)。
 

2016年大选:川普46.1%( 共和党),希拉里48.2%( 民主党)。
 

2020年大选:拜登51.4%( 民主党),川普46.9%( 共和党)。

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